Échelles ij    
Atelier d'exploration harmonique

Les Échelles ij

Impossibilité des échelles harmoniques à tempérament égal.

Les échelles harmoniques ne peuvent être constituées d'intervalles strictement égaux (on parle alors d'échelles à tempérament égal). En effet, les échelles à tempérament égal sont assujetties à la loi mathématique suivante :

Dans une échelle à tempérament égal de k degrés, l'intervalle entre deux notes consécutives vaut : i = 21/k.

Or il n'y a aucun nombre rationnel (c'est-à-dire un nombre qui peut être écrit sous la forme d'une fraction de deux nombres naturels) qui puisse être égalé à 21/k (racine k-ième de 2), qui est irrationnel.

En revanche, on peut construire des échelles harmoniques sur l'alternance de deux intervalles rationnels inégaux.

Générer une échelle ij.

Données et conventions d'écriture.

Dans une « échelle ij », les intervalles sont rationnels, et ne peuvent avoir que deux — et seulement deux — valeurs, une grande ou une petite. L'alternance des petits et des grands intervalles forment une octave complète.

Par convention, on apellera i le petit intervalle et j le grand intervalle.

Ces intervalles i et j seront tous deux calculés à partir d'une première section, rationnelle, de l'octave, r.

Comment générer des échelles ij. Un exemple.

On part ici de la division d'une octave par l'intervalle de quinte juste.

Intervalle fondateur r = 3/2

Si l'on divise l'octave selon une quinte juste (3/2), nous obtenons un (grand) intervalle d'une quinte juste (3/2) suivi d'un (petit) intervalle d'une quarte juste (4/3) pour arriver à l'octave de la note de base. Nous avons ainsi divisé l'octave à l'aide de deux et seulement deux intervalles rationnels.

i = 4/3
j = 3/2

Première section de l'octave.

|←—————————————————2/1———————————→|

devient :

|←———————3/2———————→|←————4/3————→|
                   3/2 × 4/3 = 2 (octave)

Nous avons donc ici une échelle à deux degrés composée des intervalles rationnels i = 4/3 et j = 3/2.

 

Pour passer à l'étape suivante, on divise j par i.

(3/2)/(4/3) = 9/8, autrement dit 3/2 = 4/3 × 9/8, ce qui signifie que l'intervalle 3/2 peut se décomposer en 4/3 et 9/8.

 

Deuxième section.

|←———————3/2———————→|←————4/3————→|

devient :

|←————4/3————→|←9/8→|←————4/3————→|
             4/3 × 9/8 × 4/3 = 2 (octave)

Nous obtenons maintenant une échelle à trois degrés, composée d'une combinaison de deux intervalles i = 9/8 et d'un seul intervalle j = 4/3. L'échelle générée a la forme : j i j.

L'étape suivante consiste toujours à diviser j par i : (4/3)/(9/8) = 32/27, autrement dit 4/3 = 9/8 × 32/27. L'intervalle 4/3 se décompose donc en 9/8 et 32/27.

 

Troisième section.

|←————4/3————→|←9/8→|←————4/3————→|

devient :

|←9/8→|←32/27→|←9/8→|←32/27→|←9/8→|
             9/8 × 32/27 × 9/8 × 32/27 × 9/8 = 2 (octave)

Nous obtenons maintenant une échelle pentaphonique (échelle à cinq degrés), composée d'une combinaison de deux intervalles, i = 9/8 et j = 32/27. L'échelle a la forme i j i j i.

 

En résumé.

 

Quand on répète le même procédé — division des intervalles j par les intervalles i —, on génère des échelles ij dont le nombre de degrés augmente à chaque étape.

 

Section 0 : Intervalle d'octave = 2/1.

Section 1 : i = 4/3, j = 3/2. Forme de l'échelle : j i ou i j. (Échelle à 2 degrés.)

Section 2 : i = 9/8, j = 4/3. Forme de l'échelle : j i j. (Échelle à 3 degrés.)

Section 3 : i = 9/8, j = 32/27. Forme de l'échelle : i j i j i. (Échelle à 5 degrés.)

Section 4 : i = 256/243, j = 9/8. Forme de l'échelle : j i j i j i j. (Échelle à 7 degrés.)

Section 5 : i = 256/243, j = 2187/2048. Forme de l'échelle : i j i j i j i i j i j i. (Échelle à 12 degrés.)

 

Le calcul des ratios des degrés des échelles se fait en multipliant les intervalles successifs :

 

Section 0 : [1/1] [2/1]

Section 1 : [1/1] [3/2] [2/1] ou [1/1] [4/3] [2/1] (Échelle à 2 degrés.)

Section 2 : [1/1] [4/3] [3/2] [2/1] (Échelle à 3 degrés.)

Section 3 : [1/1] [9/8] [4/3] [3/2] [16/9] [2/1] (Échelle à 5 degrés.)

Section 4 : [1/1] [9/8] [32/27] [4/3] [3/2] [27/16] [16/9] [2/1] (Échelle à 7 degrés.)

Section 5 : [1/1] [256/243] [9/8] [32/27] [81/64] [4/3] [729/512] [3/2] [128/81] [27/16] [16/9] [243/128] [2/1] (Échelle à 12 degrés.)

Une échelle ij quasi isotonique

Comme nous l'avons dit, une échelle harmonique à tempérament égal est impossible. L'échelle qui suit se rapproche de cet idéal. En effet, à partir de la section de l'octave : i = 7/6 | j = 12/7 |, on génère une échelle ij (à 9 degrés) remarquable tant les valeurs des intervalles i et j sont proches. L'échelle en question est quasi isotonique.

Cette échelle ij à 9 degrés est composée de

5 intervalles i = (2 × 6⁴)/7⁴ = 2592/2401 = 1.07955

et de

4 intervalles j = 7⁵/(2 × 6⁵) = 16807/15552 = 1.080697

|i    |j    |i    |j    |i    |j    |i    |j    |i    |
|1.080|1.081|1.080|1.081|1.080|1.081|1.080|1.081|1.080|

Soit, en ratios :

[1/1] [2592/2401] [7/6] [432/343] [49/36] [72/49] [343/216] [12/7] [2401/1296] [2/1]

 

Elle permet aussi de construire une échelle ij hexatonique (i*j) i (i*j) j (i*j) i quasi parfaite.

En ratios :

[1/1] [7/6] [432/343] [72/49] [343/216] [2401/1296] [2/1]

Le programme Ijiscal, un générateur d'échelles ij

 

Le logiciel libre Ijiscal (2016), développé par Michel Gaillard dans le langage de programmation XLogo, permet de générer des échelles ij à partir d'un intervalle fondateur qu'il suffira d'entrer dans la fenêtre qui s'ouvre quand on lance le programme.


Ijiscal, énérateur d'échelles ij
Ijiscal en ligne


Si vous rencontrez des difficultés à lancer Ijiscal en ligne :

1. Téléchargez le programme Ijiscal.

2. Lancez l'interface Xlogo.

3. Dans l'interface Xlogo (menu Fichier/Ouvrir), ouvrez le programme Ijiscal que vous avez téléchargé.

4. La page du programme s'ouvre alors. Il ne vous reste qu'à valider le programme en cliquant sur la première icône, en haut à gauche : valider